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希尔伯特问题集包括23个问题，是近代哲学上最受人关注的问题，启发了近代多领域的研究。之前零零碎碎对这些问题作了一些随笔，近几天把它们整理了一下。(数学证明什么的还是直接看相关论文吧…常见的数论/计算理论什么的书里面也会有几个，毕竟老问题了…每一个问题的证明都比较复杂…窝要是复述一遍估计说不定会跳过了关键步骤什么的zz 希尔伯特第一问题 描述：可列集合之无穷基数和实数集合基数之间不存在任何集合的基数 人话：没有比整数集合大，比实数集合小的集合 哲学含义：集合过渡的连续性，是否存在无穷多个无穷大，（感觉是不明显地向化圆为方致敬？一个可数一个连续的 现代结论：不能在ZFC下证否或证明 倾向性猜想：我觉得连续统假设在我看来，以我的直观上认为是错的（直观而已。映射的证明方法限制了证明思路，可能需要更靠谱的公理体系和证明方法才能证明／证否这一假设。这依赖于另一种公理化集合体系，先构造集合在设立公理的方法可能可以是公理化集合论的一个突破。但看上去好像没什么好办法zz 希尔伯特第二问题 描述：公理系统彼此之间相容性是可判定的 人话：可以证明一个系统是不是在定义上就自相矛盾 哲♂学意义：现代科学基本上都以公理＋逻辑为基础，相对论等科学的发展都来源于原先公理体系的矛盾性，发现矛盾性或者找的发现矛盾性的方法可以极大地加速新理论的创立，然而并不能这样 现代结论：哥德尔不完备性定理 思考：图灵喜欢拿哥德尔不完备性定理的证明方法证停机问题玩… 希尔伯特第三问题 描述：两个同体积多面体，是否一定有方法将第一个分割后结合成第二个 哲学意义：明显地向化圆为方致敬？只不过是两个方了zz 现代结论：不可以 思考：为啥空间是三维的？看希尔伯特第三就知道～（吗？直觉上感觉2和3是神奇的数字，二维空间和三维空间结构上有很多明显的不同，但或许只是因为理解四维空间比较困难，说不定三维和四维之间也有很多不同zz开始人择原理了 希尔伯特第四问题 描述：什么是平面，以及为什么两点之间直线最短？什么是最短？什么是距离？ 哲♂学意义：量度方法 现代结论：额..希尔伯特想问啥？ 思考：我觉得他大概想问怎么定义范数，哪个范数是自然的定义。感觉定义范数的方法多姿多彩，但要定义什么是“自然”的就会打起来；还不如像碰到emacs和vim哪个好一样不要发表意见 希尔伯特第五问题 描述：李群是不是光滑流形 哲学意义：这和李群的定义有关吧 现代结论：解析李群和光滑李群是同一个东西 思考：好像有直接用光滑性定义李群的… 希尔伯特第六问题 描述：物理是不是可以公理化 哲♂学意义：康德告诉你，就是不可以，实验是不能证明真理的，因为存在可能的黑天鹅效应，但实验可以检验（假设的）公理，所以相信拉普拉斯的话就直接拿来用好了； 现代结论：古代就有了（虽然可能纯属歪打正着 思考：如果把没有观察到反例当作事实的话说不定可以；这是一个信仰的问题，我是相信拉普拉斯的用概率代替上帝的行为，并反对拉格朗日，当然也有很多人相信拉格朗日…好像爱因斯坦就讨厌概率论来着？理性宇宙设计是很多物理学研究的默认假说，但要是真的物理定律实际上是一大坨乱糟糟的东西怎么办？人类认为的优雅和实际上的优雅可能有很大差别吧…虽然是信仰，自大到自以为宇宙的设计者和人类对简洁的定义一样可不太好，弦论什么的只需要一个反例就变成纯数学玩具了 希尔伯特第七问题 描述：代数数的无理次幂是不是超越数？ 哲学意义：额 现代结论：是的，数学分析课上会提到的样子 随着世界的发展之前的未解之谜都会变成常识的样子zz 希尔伯特第八问题 描述：黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想 … Continue reading →